Wann ist eine Gruppe eine Untergruppe?

(a) U ist eine Untergruppe von G genau dann, wenn ab−1 ∈ U für alle a,b ∈ U gilt. (b) HatU nur endlich viele Elemente, so istU eine Untergruppe von G genau dann, wenn ab ∈U für alle a,b ∈ U gilt, also wenn das Untergruppenkriterium (U1) aus Satz 3.3 gilt.

Sind Untergruppen Gruppen?

Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Ist z 0 eine Gruppe?

Beispiel. (Z\{0},·) ist keine Gruppe, da es zwar ein neutrales Element gibt, aber nicht immer ein inverses Element. Beispiel. Sei M ̸= ∅ eine Menge und S(M) = {f : M → M : f ist bijektiv}.

Wann ist eine Gruppe Kommutativ?

Eine Gruppe heißt abelsch (oder kommutativ), falls ab = ba für alle Elemente a,b gilt; in abelschen Gruppen schreibt man die Gruppenoperation meist als Addition. Eine Gruppe G heißt endlich erzeugt, wenn sie ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Man nennt diese Gruppe das Produkt der Gruppen A und B.

Was ist eine erzeugte Untergruppe?

Erzeugte Untergruppen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge einer Gruppe eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von , die enthält. Diese Untergruppe wird mit bezeichnet und die von erzeugte Untergruppe von genannt.

Was ist eine Untergruppe?

3.1.2 Untergruppen Ausgehend von einer GruppeGkann man durch Einschränken der gegebenen Verknüpfung auf eine TeilmengeU ⊂ Gneue Gruppen erzeugen: Definition 3.1.5 (Untergruppe) Sei (G�◦) eine Gruppe. Eine TeilmengeU ⊆ Gheißt eineUntergruppevonG, wenn gelten: � ∈ U� �◦� ∈ Uund�−1∈ U ∀��� ∈ U�

Ist eine Gruppe eine Gruppe?

Eine Gruppe besteht also immer aus zwei Daten: einer Menge und einer Verknüpfung. Deshalb schreibt man auch oft “Sei (G,◦) eine Gruppe”. Um sich Schreibarbeit zu sparen, sagt man oft kurz “Sei G eine Gruppe” und denkt sich die Verknüpfung ◦ dazu.

Was ist eine Untergruppe in der Mathematik?

In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe ( U , ∘ ) {displaystyle (U,circ )} einer Gruppe ( G , ∘ ) {displaystyle (G,circ )} eine Teilmenge U {displaystyle U} von G {displaystyle G} , die bezüglich der Verknüpfung ∘ {displaystyle circ } selbst wieder eine Gruppe ist.